Warps = Deformación

Como se mide la deformación?

La teoría subyacente a los métodos de la morfometría geométrica actual se basa en las propiedades matemáticas del espacio de la forma de Kendall (Bookstein 1996a; Rohlf 1999a; Rohlf 1999b; Rohlf 2000). En este espacio, los cambios de posición de cada punto en una configuración de coordenadas se consideran como "variables morfométricas de deformación" (warps). Operacionalmente, esto involucra el ajuste de las configuraciones de marcas para remover la varianza debida a tamaño, ubicación y orientación mediante diversos métodos de superposición. La varianza remanente en las coordenadas ajustadas (bending energy matrix) se somete a un eigenanalisis para extraer matemáticamente ejes que describen la magnitud y dirección de los desplazamientos en cada punto de una configuración. Los distintos "warps" son precisamente ejes (variables latentes) de la deformación relativa.

Los "relative warps" (o para el caso, cualquier tipo de warp) son VARIABLES (ejes determinantes de un espacio), mientras que los "scores" son los VALORES en esas variables (ubican un punto en ese espacio). Tradicionalmente en una matriz de "relative warp scores", los "relative warps" se escriben como columnas y los valores en las celdas son los "scores". Una hilera de valores es una configuracion (una forma), un punto en el espacio de los "relative warps". Es la misma convencion para escribir las matrices de los "principal warps" luego de los "partial warps".

1. Los "Principal warps" son eigenvectores de la "matriz de energía de deformación" (bending-energy matrix). Esta matriz describe las deformaciones relativas respecto a una configuración de referencia. Los "Principal warps" son ejes de los patrones geométricos de deformación de cada objeto respecto a la configuración promedio (Bookstein 1991). Todos estos ejes involucran a todos los puntos de la configuracion, pero difieren en la escala espacial o grado de regionalizacion de los cambios. Estos ejes de variacion en diferentes escalas espaciales dependen estrictamente de la forma de referencia.

2. Los "Partial warps" se derivan a partir de ordenar espacialmente los "Principal warps". Los "Partial warp scores" se estiman proyectando los valores de las configuraciones de coordenadas previamente ajustadas mediante una superposición Procrustes. Tal estimación se calcula proyectando las configuraciones sobre cada "Principal warp". El nuevo sistema de ejes ("Partial warps") es el resultado de la descomposición de la matriz de deformaciones estimadas respecto a una configuración de referencia. Por lo tanto, si la referencia cambia la percepción de la magnitud y dirección de las deformaciones (matriz de covarianzas) es diferente y el sistema de ejes inevitablemente también cambia.

3. Los "Relative warps" difieren de los "Partial warps" en que se basan en patrones de covarianza de la forma entre los objetos. Estos nuevos ejes resultan de un eigenanalisis de una matriz de covarianzas en términos de los "Partial warp scores". El procedimiento analítico es semejante al del calculo de los componentes principales: rotación rígida en la dirección de la máxima varianza. En este sentido, los "Relative warps" son los "Partial warps" rotados y ordenados de mayor a menor varianza. Dada la correspondencia entre los Partial warps y los Principal warps, tambien podemos visulaizar los relative warps como los componentes principales de los escores de los principal warps (Principal warp weight matrix).


Las variables basadas en deformación geométrica ("principal warps, partial warps") pueden ser usadas para analizar con metodos de ordenamiento (PCA, CVA) la distribución de los objetos en una variedad de espacios latentes. No obstante debe considerase que tales variables de deformación relativa representan ejes abstractos siempre dependientes de una colección de muestras particular.

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