Una muestra (n) es un vector

El concepto geométrico central es el tratamiento de un objeto o espécimen "n" como un vector o punto geométrico Pi con cierta ubicación, dirección y magnitud. Podemos imaginar una flecha, con un extremo en el centro de una mesa (origen O), inclinada hacia la derecha (dirección del vector) y cuya punta esta a cierta longitud (magnitud del vector). Este vector se representa geométricamente como OP. En este apartado presentamos fundamentos básicos de conceptos de vectores y geometría de espacios. Los tratamientos completos y detallados de análisis vectorial pueden ser estudiados en la literatura especializada (Banchoff y J. Wermer 1991,  Hausner 1965,  Lattin, et al 2003, Wickens 1995)

En el contexto de la morfometría, un objeto físico o espécimen puede ser una hoja, una mandíbula, un cráneo, la aleta de un pez, etc. Cuando se registran largos y anchos ("distancias") o las "coordenadas cartesianas" de varios puntos, la muestra se representa ahora como un objeto matemático. Imaginemos que a un objeto corresponde una flecha. La punta de la flecha sobre la mesa se representa como Pi= v1, v2, v3, donde "v" son tres ejes cartesianos, dos corresponden a las dos orillas de la mesa y el tercero es perpendicular hacia arriba de la mesa. La flecha es entonces la diagonal de un prisma rectangular imaginario sobre la mesa.

Una colección de objetos se representa entonces por una colección de vectores Pn. Se denota R a la colección de vectores en el espacio de K dimensiones. Convencionalmente cada objeto o espécimen (Pn) es descrito por una colección de números arreglados en una hilera de la matriz de datos ("row vector").  Las columnas de la matriz son las variables (v), las cuales definen los ejes, el tipo de algún espacio geométrico y su dimensión. El numero de dimensiones "k" en principio es igual numero de variables o ejes de ese espacio. En el caso del espacio sobre la mesa la dimensión es k=3.

Los dos espacios geométricos son muy diferentes cuando se registran medidas de longitudes y anchos o cuando se registran coordenadas cartesianas para representar las muestras. Si las variables morfométricas son "distancias" entre marcas, el espacio matemático es Euclidiano. Si las variables son las "coordenadas cartesianas" de marcas, entonces un objeto es una configuración de puntos o una colección de vectores representadas por un punto en un espacio Riemanniano curvo.

En ambos casos, las variables son los "vectores base" (basis vectors) del espacio que contiene la nube de objetos (Pn). La colección de objetos define entonces un conjunto disperso de puntos (Pn) en el espacio de las variables como ejes.

Banchoff T. & J. Wermer. 1991. Linear algebra through geometry. Undergraduate texts in Mathematics. Springer, NY

Hausner, M. 1965. A vector space approach to geometry. Dover books on Mathematics. Dover Publications Inc. NY.

Lattin, J, J.D Carroll & P.E Green. 2003. Chp 2. Vectors and Matrices. En: Analyzing Multivariate Data. Brooks/Cole. pp 19-37.

Wickens, T. D. 1995. Chp. 2. Some vector geometry.  En: The Geometry of Multivariate Statistics. Lawrence Erlbaum Assoc. Publ. Hillsdale NJ. Pp 9-30.