Sandra Ospina-Garcés,
Marcia Ramírez-Sánchez y
Efraín De Luna
(Editores).
Manual de Morfometría (o algún otro titulo conveniente)
Sección 1 Introducción, Protocolo y Definiciones.
cap 1. Introducción.
Sección 2: Los datos y las variables, Ajustes y Comparación.
Sección 3: Los métodos estadísticos.
Sección 4: Aplicaciones. Estudios de caso. Para los capítulos de esta sección, se invitan colaborador@s. Desea colaborar? Bienvenid@! Registrese para poder publicar aqui.

25 febrero 2013

Que es la forma?

La descripción cuantitativa de la morfología requiere un conocimiento básico de geometría y matemáticas. El formalismo matemático requerido para la descripción del tamaño y la forma biológica se ha desarrollado gradualmente desde hace unos treinta años, especialmente a partir de las contribuciones teóricas y aplicaciones metodológicas simultáneas de Kendall (1977, 1981, 1984) y Bookstein (1978, 1982, 1984). Las herramientas matemáticas de la geometría diferencial de manifolds y la teoría de probabilidad y estadística de la forma se presentan resumidas en el libro de Small (1996).

En términos generales, la forma de un objeto puede definirse como el total de la información de "ubicación" y "magnitud" que es invariante bajo translaciones, rotaciones o reescalamientos isotrópicos del objeto. Consideremos seis objetos, a los que llamaremos "pentagonoides" (Fig. 2.31. p 49, Banchoff &  Werner, 1991)

Los 5 puntos del mismo polígono "pentagonoide a" dibujado sobre dos hojas de papel rectangular obtendrán diferentes coordenadas cartesianas 2D, si las hojas se posiciona en diferentes sitios y/o se rota sobre la mesa ("pentagonoide d"). Las coordenadas cartesianas de los 5 puntos respecto de una misma esquina de la mesa serán muy diferentes en cada ubicación, aunque es el mismo pentágono. Matemáticamente la forma se define como las propiedades de las coordenadas cartesianas que permanecen después de remover los efectos de tamaño, ubicación y orientación de los objetos (superposición).

La forma de un objeto se registra mediante una colección de coordenadas cartesianas 2D o 3D de varios puntos o marcas. El conjunto de los valores de las coordenadas para un objeto se denomina "configuración". La "configuración" mínima de una forma (n=1) consiste de tres marcas (k=3). En 2D, esta configuración se describe con tres pares ordenados "x,y".  Puede el lector imaginar o dibujar que triangulo es el siguiente?
0 0   6 0   0 3
Geométricamente estos seis números corresponderían a seis vectores y la colección de vectores de una configuración sería un tensor.

Si se registran coordenadas cartesianas en 3D, los tres puntos del triángulo se describen ahora con nueve números, un tensor de nueve vectores. Puede el lector imaginar o dibujar el triangulo siguiente?
0 0 0   6 0 0   0 3 3
En los dos casos, una forma, un tensor, se representaría en el espacio de Kendall como un punto. Dos objetos (dos puntos ) tienen la misma forma si la "ubicación" es la misma en el hiperespacio Riemanniano de Kendall (Small, 1996). Por lo tanto, en este espacio la distancia entre dos puntos es la diferencia entre dos formas.

Bookstein, F. L. 1978. The measurement of biological shape and shape change. Lecture Notes in Biomathematics. 24. Springer-Verlag, NY.

Bookstein, F. L. 1982. Foundations of morphometrics. Annual Review of Ecology and Systematics 13: 451-470.

Bookstein, F. L. 1984. A statistical method for biological shape comparisons. Journal of Theoretical Biology 107: 475-520.

Kendall, D. G. 1977. The diffusion of shape. Advances in Applied Probability 9: 428-430.

Kendall, D. G. 1981. The statistics of shape. En: V. Barnett (ed). Interpreting multivariate data. Wiley, NY. p 75-80.

Kendall, D. G. 1984. Shape manifolds, Procrustean metrics, and complex projective spaces. Bulletin of the London mathematical Society 16: 81-121.

Small, C. G. 1996. The statistical theory of shape. Springer Series in Statistics. Springer. NY.

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